Question

如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b-2）²=0，

（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得：a-2=0且b-2=0，
解得：a=2，b=2，
则A的坐标是（2，2）；

（2）AC=CD，且AC⊥CD．
如图1，连接OC，CD，
∵A的坐标是（2，2），
∴AB=OB=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBC=30°，OB=BC，
∴∠BOC=∠BCO=75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA=45°，
∴∠AOC=∠BOC-∠BOA=75°-45°=30°，
∵△OAD是等边三角形，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
即OC是∠AOD的角平分线，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC=DC，
∴∠ACO=∠DCO=60°+75°=135°，
∴∠ACD=360°-135°-135°=90°，
∴AC⊥CD，
故AC=CD，且AC⊥CD．


（3）不变．
延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，
∵在△BAM与△BOF中，
，
∴△BAM≌△BOF（SAS），
∴∠ABM=∠OBF，BF=BM，
∵∠OBF+∠ABG=90°-∠FBG=45°，
∴∠MBG=45°，
∵在△FBG与△MBG中，
，
∴△FBG≌△MBG（SAS），
∴FG=GM=AG+OF，
∴=1．
分析：（1）根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个数一定同时等于0，即可求解；
（2）连接OC，只要证明OC是∠AOD的角平分线即可判断AC=CD，求出∠ACD的度数即可判断位置关系；
（3）延长GA至点M，使AM=OF，连接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG=GM=AG+OF，由此即可得出结论．
点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及到非负数的性质及等边三角形的性质等知识，难度适中．