Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

Answer 1

解：（1）根据题意，c=3 所以 解得 所以抛物线解析式为。 （2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2） 设直线CD的解析式为y=kx+b 当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y= 当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=。
（3）如图，由题意，可得M（0，） 点M关于x轴的对称点为M'（0，-） 点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3） 连结A'M' 根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长 所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点 可求得直线A'M'的解析式为y= 可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，） 由勾股定理可求出A'M'= 所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为。