Question

如图，抛物线y=x²-2x-2交x轴于A、B两点，顶点为C，经过A、B、C三点的圆的圆心为M．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求⊙M上劣弧AB的长；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC和MD互相平分？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2x-2∴y=（x-1）²-3，
∴对称轴为x=1，顶点C（1，-3）．
又∵抛物线y=x²-2x-2与x轴交点A（，0）、B（，0），
∴．
作抛物线对称轴x=1交AB于点N，则N（1，0），
∴圆心M在对称轴x=1上，连接MB，
∵⊙M中，MN⊥AB，
∴．
设⊙M半径为r，则MC=MB=r，
∵C（1，-3），
∴CN=3
∴MN=CN-MC=3-r．
∵Rt△BMN中MN²+BN²=MB²
∴解得r=2
∴MN=3-r=3-2=1
∵ON=1
∴圆心M的坐标为（1，-1）

（2）∵△BMN中，∠MNB=90°，MB=r=2，MN=1
∴
∴∠NMB=60°
∴∠AMB=2∠NMB=120°
∴⊙M上劣弧AB的长为

（3）若线段OC和MD互相平分，则四边形OMCD必定是平行四边形，
∴MC∥OD且MC=OD．
∵MC=r=2，
∴点D即为点O向下平移2个单位得点，
∴点D坐标为（0，-2）．
分析：（1）首先求得A、B的坐标，则AB的长即可求得，作抛物线对称轴x=1交AB于点N，则N的坐标可以求得，NC的长度可以求得，然后在直角△MNB中，利用勾股定理即可求得半径的长；
（2）利用三角函数即可求得∠NMB的度数，即可求得∠AMB的度数，然后利用弧长公式即可求解；
（3）若线段OC和MD互相平分，则四边形OMCD必定是平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解．
点评：本题考查了垂径定理、三角函数以及弧长公式、平行四边形的性质的综合应用，正确求得M的坐标是关键．