Question

已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点在直线y=-x-1上，且仅当0＜x＜4时，y＜0．设点A是抛物线与x轴的一个交点，且点A 在y轴的右侧，P为抛物线上一动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△POA的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当cos∠OPA=时，⊙M经过点O、A、P，求过点A且与⊙M相切的直线的解析式．

Answer 1

解：（1）根据题意，抛物线与x轴的交点为O（0，0）、A（4，0），
所以其对称轴为x=2，
把x=2代入y=-x-1得y=-2，即抛物线顶点坐标为（2，-2）．
把（2，-2）、A（4，0）代入y=ax²+bx得
，
解得，
所求直线解析式为y=x²-2x；

（2）∵点P在抛物线上，
∴设P点的坐标为（x，x²-2x）
△POA的面积=×4×=5，
∴x²-4x-5=0或x²-4x+5=0．（无解）
解x²-4x-5=0，得x₁=5，x₂=-1．
当x₁=5，时，y₁=；x₂=-1时，y₂=，
所求的点P为：，P₂（-1，）；

（3）∵抛物线对称轴x=2是OA的垂直平分线，
∴根据题意可知，圆心M在对称轴x=2上，
连接AM并延长交y轴于点N，
∵∠AON=90°，
∴AN为⊙M直径．
当点P在x轴上方时，
由同弧所对圆周角相等，得∠ANO=∠APO．
设过点A且与⊙M相切的直线交y轴于点B，
则∠NAB=90°．
∴∠OAB=∠ANO，
∴cos∠OAB=cos∠APO=，且OA=4．
∴Rt△AOB中，cos∠OAB==．
即=
∴AB=，OB=2．即点B的坐标为（0，-2）．
∴过点A、B与⊙M相切的直线解析式为y=x-2
当点P在x轴下方时，
∵弦OA小于⊙M的直径，
∴∠APO所对的弧是优弧．
∴∠APO是钝角，不合题意．故点P不可能在x轴的下方．
综上，过点A、B与⊙M相切的直线解析式为y=x-2．
分析：（1）本题须先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再代入直线的解析式即可．
（2）本题须先设出P点的坐标，再表示出△POA的面积即可得x的值，再代入求出y的值，即可得出求点P的坐标．
（3）本题须先通过解直角三角形求出AB的长，从而得出点B的坐标，然后即可得出过点A且与⊙M相切的直线的解析式．
点评：本题主要考查了二次函数综合问题，在解题时要把抛物线的图象和性质与解直角三角形相结合是本题的关键．