Question

已知：如图所示，抛物线与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）。
（1 ）求抛物线的解析；
（2）设点P在抛物线上滑动，且满足条件S_△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意有，
∴b=4 ，c=-3 ，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3 ；
（2 ）如图，设P （x ，y ）
∵AB=2 ，S _△PAB=1
∴×2 ×|y|=1
∴y= ±1
当y=1 时，x=2
当y=-1 时，x=±2 ，
（3 ）存在，过点C作抛物线的对称轴的对称点C' ，
∵点（0 ，-3 ），对称轴为x=2 ，
∴C ′（4 ，-3），
设直线AC ′的解析式为y=kx+b ，
∴k=-1 ，b=1 ，
∴直线AC ′的解析式为y=-x+1 ，
直线AC ′与对称轴x=2 的交点为（2，-1），即M （2 ，-1），
∴存在点M （2 ，-1 ），
可使△AMC 的周长最小．
∴满足条件的点P 有三个坐标分别为（2 ，1 ），（2，-1），（-2 ，-1）；