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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与O精英家教网B的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
    （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
    （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=
    13
    OB时，求⊙O1的半径；
    （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
    分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
    （2）当BD=
    1
    3
    OB时，根据（1）的函数关系式求得y=
    5
    3
    ，x=6．分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2；②当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6；
    （3）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=
    1
    2
    ∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=
    180-45°
    2
    =67.5°    ，然后由三角形的内角和定理求得
    ∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
    解答：精英家教网解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
    ∴AE=
    1
    2
    AC=
    1
    2
    x    ，OE=
    		AO2-AE2
    =
    		25-
    1
    4
    x2
    ．
    ∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
    ∴
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，∵OD=y+5，∴
    y+5
    		25-
    1
    4
    x2
    =
    5
    x
    2
    ．
    ∴y关于x的函数解析式为：y=
    5
    		100-x2
    -5x
    x
    ．
    定义域为：0＜x＜5
    		2
    ．（1分）

    （2）当BD=
    1
    3
    OB时，y=
    5
    3
    ，
    5
    3
    =
    5
    		100-x2
    -5x
    x
    ．
    ∴x=6．
    ∴AE=
    1
    2
    x=3    ，OE=
    		52-32
    =4    ．
    当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2，O1A=
    		O1E2+AE2
    =
    		22+32
    =
    		13
    ．
    当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，O1A=
    		O1E2+AE2
    =
    		62+32
    =3
    		5
    ．
    ⊙O1的半径为
    		13
    或3
    		5
    ．

    （3）存在，当点C为
    AB
    的中点时，△DCB∽△DOC．
    证明如下：∵当点C为
    AB
    的中点时，∠BOC=∠AOC=
    1
    2
    ∠AOB=45°，
    又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=
    180-45°
    2
    =67.5°    ，
    ∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
    ∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
    ∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
    点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解．
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    ．

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    A、(
    		2
    2
    )    n    R
    B、(
    1
    2
    )    n    R
    C、(
    1
    2
    )    n-1    R
    D、(
    		2
    2
    )    n-1    R

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    		3
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    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    9
    （o＜x＜1）
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    9
    （o＜x＜1）
    ．

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