Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，求实数m的值．

Answer 1

分析：由Rt△ABC中，∠C=90°，可得sin²A+sin²B=1，又由sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，根据根与系数的关系可得：sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA•sinB=

12

m+5

，继而求得m的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∵sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，
即sinA、sinB是关于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的两个实根，
∴sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA•sinB=

12

m+5

，
∴sin²A+sin²B=（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=（

2m-5

m+5

）²-2×

12

m+5

=1，
即m²-18m-40=0，
解得：m=20或m=-2．
当m=20时，可得：△=25＞0，符合题意；
当m=-2时，可得：△=-7＜0，不符合题意，舍去．
∴实数m的值为20．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及三角函数的定义等知识．此题难度较大，注意掌握若二次项系数不为1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

知识的应用．