Question

如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，以CD为一边向上作等边△ECD，连接AE，求证：△ADE是等腰三角形．

Answer 1

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
同理△ECD为等边三角形，可得CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴BD=AE，
∵D为AB的中点，∴BD=AD，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形．
分析：由三角形ABC为等边三角形，得到边BC与AC相等及∠ACB=60°，同理，由△ECD为等边三角形，可得CD与CE相等及∠DCE=60°，等量代换可得∠ACB=∠DCE，等号两边同时减去∠ACD，可得∠BCD与∠ACE相等，利用SAS可证明三角形BCD与三角形ACE全等，根据全等三角形的对应边相等可得BD与AE相等，又D为AB的中点，可得BD=AD，等量代换可得AD=AE，即三角形ADE为等腰三角形．
点评：此题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，三角形中的边角相等可利用三角形的全等来证明，本题要求学生借助图形，利用等边三角形的性质及等量代换的方法，找出判定三角形全等的条件，从而根据全等三角形的性质得到BD与AE相等，最后根据中点定义及等量代换得到目的．