Question

如图，已知四边形BCDE是⊙O的内接四边形，又是⊙H的外切四边形，P、N、M、G为切点，BE、CD的延长线交于A点，若AP＞BC，且AP，BC的长为方程x²-25x+150=0的两个根．求DE的长．

Answer 1

解：x²-25x+150=0，
解得：x₁=15，x₂=10，
∵AP＞BC，且AP，BC的长为方程x²-25x+150=0的两个根，
∴AP=15，BC=10，
∵⊙H与AB，BC，AC切于P、N、M点，
∴BN=BP，CN=CM，
∴BP+CM+BC=2BC=20，
∴△ABC的周长为50，
又∵EP，EG，DG，DM为⊙H的切线，
∴EP=EG，DG=DM，
∴AE+EG+GD+AD=2AP，
∴△AED的周长为30，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴===，
解得：DE=6．
答：DE的长为6．
分析：先求出方程的根，得出AP、BC的长，利用切线的性质分别得出△AED及△ABC的周长，判断出△ABC∽△ADE，继而可得=，代入即可得出DE的长度．
点评：本题属于圆的综合题，涉及了切线的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，注意掌握相似三角形的周长之比等于两三角形的相似比，难度较大．