Question

设a，b都是整数，求证：a，b，a+b，a-b这4个数中至少有一个能被3整除．

Answer 1

分析：可分①a，b中至少有一个是3的倍数；②都不是3的倍数可分为都被3整除后余1，都被3整除后余2，一个被3整除后余1，一个被3整除后余2；看所给3个代数式中一定有哪个是3的倍数即可．

解答：证明：对于a，b，若至少有1个数是3的倍数，则ab是3的倍数；
若a，b都不是3的倍数
①当a=3m+1，b=3n+1时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；
②当a=3m+1，b=3n+2时，a+b=3（m+n+1），a+b是3的倍数；
③当a=3m+2，b=3n+2时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；
∴a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．

点评：考查有关数的整除性的证明；把2个整数分为有3的倍数，没有3的倍数2种情况探讨是解决本题的难点．