Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+1-m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．
（1）求m的值；
（2）求∠CDE的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线过点C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2

（2）由（1）可知该抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此抛物线的对称轴x=1
抛物线的顶点D（1，4）
过点C作CF⊥DE，则CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°

（3）存在．
①延长CF交抛物线于点P₁，则CP₁∥X轴，所以P₁正好是C点关于DE的对称点时，
有DC=DP₁，得出P₁点坐标（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
②若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：x=，＜1，应舍去；
∴x=，
∴y=4-x=
则P₂点坐标（，）．
∴符合条件的点P坐标为（，）和（2，3）．
分析：（1）由于抛物线的解析式中只有一个未知数m，因此只需将C点的坐标代入抛物线中即可求出m的值．
（2）此题可首先表示出抛物线的顶点式，就可以求出D点的坐标，然后过C点作DE的垂线CF，在△DCF中根据C、D、F三点的坐标求出DF和CF长度相等，得出∠CDE的度数；
（3）利用二次函数的对称性可求出，以及利用线段垂直平分线的性质求出P的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的对称性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分线的性质等知识，题目综合性较强，是中考中热点题型．