Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设该抛物线的解析式为， 由抛物线与y轴交于点C（0，-3）， 可知c=-3， 即抛物线的解析式为， 把A（-1，0）、B（3，0）代入， 得 解得a=1，b=-2， ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3， ∴顶点D的坐标为（1，-4）；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形， 理由如下：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F， 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴， 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， ∴， 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， ∴， ∴， 故△BCD为直角三角形；
（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）， 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽ Rt△COA∽Rt△BCD， 求得符合条件的点为， 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）， ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）。