Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧$\widehat{MN}$的长为$\frac{6}{5}$π，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM=$\frac{12}{5}$，由直线解析式求出点A和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即可得出结论；
（2）阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵劣弧$\widehat{MN}$的长为$\frac{6}{5}$π，
∴$\frac{90π×OM}{180}$=$\frac{6}{5}π$，
解得：OM=$\frac{12}{5}$，
即⊙O的半径为$\frac{12}{5}$，
∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△AOB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OD=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OD=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$=半径OM，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{4}$π×（$\frac{12}{5}$）²=6-$\frac{36}{25}$π．

点评 本题考查了切线的判定、弧长公式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由三角形的面积求出半径是解决问题的关键．