Question

当抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点及抛物线上一点P组成以P为直角顶点的直角三角形时，则点P的坐标

1. A.
   只与a有关
2. B.
   只与b有关
3. C.
   只与c有关
4. D.
   与a、b、c均有关

Answer 1

D
分析：设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线上一点P（x₀，y₀）．先由韦达定理得出x₁+x₂=-，x₁•x₂=．再过P作PM⊥x轴于M，易证△APM∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出PM²=BM×AM，即y₀²=（x₂-x₀）•（x₀-x₁），然后由点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，将y₀=ax₀²+bx₀+c代入，整理后得出y₀=-，x₀=，即可判断．
解答：解：设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线上一点P（x₀，y₀）．
∵点A、B是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，则由韦达定理x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
过P作PM⊥x轴于M，
∵A（x₁，0），B（x₂，0），P（x₀，y₀），
∴PM=|y₀|，BM=x₂-x₀，AM=x₀-x₁．
∵在△PAB中，∠APB=90°，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠PBA+∠BPM=90°，
∴∠BPM=∠PAB，
∴△APM∽△PBM，
∴=，
∴PM²=BM×AM，
∴y₀²=（x₂-x₀）•（x₀-x₁），
整理得：x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂+y₀²=x₀²+•x₀++y₀²=0，
即x₀²+•x₀++y₀²=0，
两边同时乘以a，得ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，
∵点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，
所以y₀=ax₀²+bx₀+c，
∴将其代入ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，得
y₀+ay₀²=0，
即y₀•（1+ay₀）=0．
∵点P不与点A、B重合，
∴y₀≠0，
∴y₀=-，
∴x₀=．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的判定与性质，韦达定理，解一元二次方程，难度较大．