Question

如图，已知⊙A、⊙B都经过点C，BC是⊙A的切线，⊙B交AB于点D，连接CD并延长交⊙A于点E，连接AE．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DE•DC=2AD•DB；
（3）如果DE•DC=8，AE=3，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC是⊙B的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
而∠BDC=∠ADE，
∴∠BCD=∠ADE，
又∵AC=AE，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠AED+∠ADE=90°，
即∠EAD=90°，
∴AE⊥AB；
（2）证明：过点B作BF⊥CD于点F，如图，
∵BC=BD，
∴CF=FD，即CD=2DF，
∵∠ADE=∠BDF，∠EAD=∠BFD=90°，
∴△ADE∽△FDB，
∴DE：DB=DA：DF，即DE•FD=AD•DB，
∴DE•2FD=2AD•DB，
∴DE•DC=2AD•DB；
（3）解：∵DE•DC=2AD•DB=8，
∴2AD•DB=8，
∵AC=AE=3，BC=BD，
在Rt△ABC中，（AD+BD）²=AC²+BC²，
∴（AD+BD）²=AC²+BD²，
∴AD²+2AD•BD+BD²=9+BD²，解得AD=1，
∴2×1×BD=8，
∴BD=4，
∴BC=4．
分析：（1）根据切线的性质得到∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°，根据等腰三角形的性质由AC=AE得∠AEC=∠ACE，由BC=BD得∠BCD=∠BDC，再根据对顶角相等得到∠BDC=∠ADE，于是可得到∠AED+∠ADE=90°，即有AE⊥AB；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则CF=FD，即CD=2DF，根据三角形相似的判定易得△ADE∽△FDB，则DE：DB=DA：DF，即DE•FD=AD•DB，即可得到结论；
（3）由DE•DC=2AD•DB=8，得2AD•DB=8，而AC=AE=3，BC=BD，在Rt△ABC中，根据勾股定理得（AD+BD）²=AC²+BC²，展开AD²+2AD•BD+BD²=9+BD²，可解得AD=1，利用2AD•DB=8可计算出BD，即可得到BC的长．
点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；运用三角形相似的判定与性质证明等积问题；利用勾股定理计算线段的长．