Question

在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为点E，DE与AB相交于点F．当AB=AC时（如图所示）．
（1）∠EBF=______．
（2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）作DH⊥AB于H，如图，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠EDB=∠C=22.5°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠EBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EBF=∠EBD-∠ABC=22.5°．

（2）BE=FD．理由如下：
BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE=FD．
故答案为22.5°．
分析：（1）作DH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠C=45°，则∠EDB=∠C=22.5°，所以∠EBD=90°-22.5°=67.5°，然后根据∠EBF=∠EBD-∠ABC进行计算；
（2）BE与DH的延长线交于G点，由DH∥AC得到∠BDH=45°，则△HBD为等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根据等腰三角形性质得BE=GE，即BE=BG，然后根据“AAS”证明△BGH≌△DFH，则BG=DF，所以BE=FD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．