Question

在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形ABCD的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F构造△AEB，通过角边角定理证得△AEB≌△AFD．再根据若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆判定ABCD四点共圆．从而证得△ABD是等边三角形．最后根据正弦定理求得S_△AEC、S_△AEC进而求得四边形ABCD的面积．
解答：解：过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接BD，

∵∠ADF+∠ABC=180°，且∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE，且A，B，C，D四点共圆，
又∠ACD=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，又AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF，∠BAD=∠FAD+∠BAF，
∴∠EAF=∠BAD=60°，
∴∠EAC=180°-60°=120°，
∴∠AEC=60°，
∴S_△AEC=EC•AE=AB•sin60°•AB•cos60°=，
同理S_△AFC=，
在△ABE与△ADF中，
∵∠ADF=∠ABE，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△AFC=+=．
故答案为：．
点评：本题考查圆的性质与判定、三角形的面积计算，是一道典型的几何综合题目．解决本题的关键是构造△AEB≌△AFD，根据四点共圆的性质与判定，求得∠AEC=60°．