Question

11．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到AD=AD′，BD′=BC，∠DAE=∠D′AE，∠CBF=∠D′BF，根据已知条件得到AD′=BD′，由等腰三角形的性质得到∠D′AB=∠D′BA，根据全等三角形的性质得到ED′=FD′，求得DE=CF，设DE=CF=D′E=D′F=x，得到EF=6-2x，过D′作D′G⊥AB于G反向延长交EF于H，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：根据题意得△ADE≌△AD′E，△BCF≌△BD′F，
∴AD=AD′，BD′=BC，∠DAE=∠D′AE，∠CBF=∠D′BF，
∵矩形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴AD′=BD′，
∴∠D′AB=∠D′BA，
∴∠EAD′=∠FBD′，
∴△AED′≌△BFD′，
∴ED′=FD′，
∴DE=CF，
设DE=CF=D′E=D′F=x，
∴EF=6-2x，
过D′作D′G⊥AB于G反向延长交EF于H，
∵CD∥AB，
∴GH⊥EF，
则EH=HF=3-x，HG=AD=5，
∴D′G=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{G}^{2}}$=4，
∴HD′=1，
∵EH²+HD′²=ED′²，
∴（3-x）²+1=x²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴EF=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．