Question

如图，抛物线y=x²﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC。
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D，设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）。

Answer 1

解：（1 ）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9； 当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）； 当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）； ∴AB=9，OC=9； （2）∵ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴=（）2， 即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）； （3）解法一：∵S△ABC=AE·OC=m×9=m， ∴S△CDE=S△ABC﹣S△ADE=m﹣m2=﹣（m﹣）2+， ∵0＜m＜9， ∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为， 此时，BE=AB﹣AE=9﹣=， 记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC设⊙E的半径为r， 在Rt△BOC中，BC===， ∵∠BOC=∠EBM，∠COB=∠EMB=90°， ∴△BOC∽△BME， ∴=， ∴=， ∴r=， ∴所求⊙E的面积为：π（）2=π。 解法二：∵S△ABC=AE·OC=m×9=m， ∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE=m﹣m2=﹣（m﹣）2+， ∵0＜m＜9， ∴当m=时，S△CDE，最大值为， 此时，BE=AB﹣AE=9﹣=， ∴S△EBC=S△ABC=， 如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC， 设⊙E的半径为r， 在Rt△BOC中，BC═=， ∵S△EBC=BC·EM， ∴×r=， ∴r=， ∴所求⊙E的面积为：π（）2=π。