Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A。
（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM是否垂直，并说明理由。

Answer 1

解：（1）△OGA∽△NPO（AA）；
（2）∵AG：OP=OG：NP，
∵OP=OG=2，
PN=OM=OE=4，
∴AG=1
∴A（1，2），
∴；
（3）AB⊥ OM
直线AB：
直线OM：y=2x
B（4，），
过M作MH∥OE交ON于H，M（）
∵AG：BF=OG：AF=2：3，∠AGO=∠BFA=90°，
∴△OGA∽△NPO（SAS），
∴∠AOG=∠BAF，
∵∠AOG+∠OAG=90°，
∴∠BAF+∠OAG=90°，
∴∠OAB=90°，
∴AB⊥OM。