Question

在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

(1)在图1中证明CE＝CF；

(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；

(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CF，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：如图1． 　　∵AF平分Ð BAD，∴Ð BAF＝Ð DAF， 　　∵四边形ABCD是平行四边形， 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　∴Ð DAF＝Ð CEF，Ð BAF＝Ð F， 　　∴Ð CEF＝Ð F，∴CE＝CF． 　　(2)Ð BDG＝45°． 　　(3)解：分别连结GB、GE、GC(如图2)． 　　∵AB∥DC，Ð ABC＝120°， 　　∴Ð ECF＝Ð ABC＝120°， 　　∵FG∥CE且FG＝CE， 　　∴四边形CEGF是平行四边形． 　　由(1)得CE＝CF，∴□CEGF是菱形， 　　∴EG＝EC，Ð GCF＝Ð GCE＝Ð ECF＝60°． 　　∴△ECG是等边三角形． 　　∴EG＝CG　①， 　　Ð GEC＝Ð EGC＝60°， 　　∴Ð GEC＝Ð GCF， 　　∴Ð BEG＝Ð DCG　②， 　　由AD∥BC及AF平分Ð BAD可得Ð BAE＝Ð AEB， 　　∴AB＝BE． 　　在□ABCD中，AB＝DC． 　　∴BE＝DC　③， 　　由①②③得△BEG△DCG． 　　∴BG＝DG，Ð 1＝Ð 2， 　　∴Ð BGD＝Ð 1＋Ð 3＝Ð 2＋Ð 3＝Ð EGC＝60°． 　　∴Ð BDG＝(180°－Ð BGD)＝60°．