Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．

（1）求证：△ACF≌△ACG；
（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）略
（2）

解析（1）      如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60°．

∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG =∠ADC = 60°．
由于∠ODC = 60°，OC = OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO = 60°．
由OC⊥l，得∠ECD = 30°，∴∠ECG = 30° + 30° = 60°．
进而∠ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．
（2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60°，AF = 4，得CF = 4．
在Rt△OCG中，∠COG = 60°，CG = CF = 4，得OC =．
在Rt△CEO中，OE =．
于是S_阴影= S_△CEO－S_扇形COD==．