Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x²+bx+c经过B、C两点，且与x轴的另一个交点为A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，PH∥y轴交BC于点H，当H是线段BQ的中点时，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是CB延长线上一点，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，连接HN，设M点横坐标为m，当△HMN是以HN为一腰的等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）将x=0，y=0分别代入直线y=-x+3的解析式，从而可求得点B和点C的坐标，然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）由抛物线求出点A坐标，写出直线AC直线解析式，设出点P坐标，表示点H坐标，由中点坐标公式可以求出点Q坐标，利用PQ∥AC，两直线斜率相等即可求出点P坐标；
（3）通过观察直线BC可以发现直线倾斜角度为135度，因此△HMN是以HN为一腰的等腰三角形分为两种情况，根据等腰三角形性质及45度角性质即可求出m值．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴则y=0时，x=3，当x=0，y=3，
故B（3，0），C（0，3），
将B，C代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{（-3）^{2}-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）如图：

∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴A（1，0），
设直线AC解析式为y=kx+b，
代入AC两点得：
k=-3，b=3，
∴直线AC解析式：y=-3x+3．
设P（a，a²-4a+3），
∴H（a，-a+3），
∵B（3，0），H是线段BQ的中点，根据中点坐标公式得：
Q（2a-3，-2a+6），
∵PQ∥AC，
∴直线PQ与直线AC斜率k相等，
∴$\frac{（a^2-4a+3）-（-2a+6）}{a-（2a-3）}$=-3，
解得：a=2，或a=3，
点P是x轴下方抛物线上一点，
∴a=2．
∴P（2-，1）

（3）如图：

有（2）得P（2，-1），
∴H（2，1），
当HN⊥MN时，
NH=NM，
N（2+$\sqrt{2}$，1），
∴M（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）．
当N′H⊥BC时，
∴N′H=HM′，
∵∠N′HN=45°，H（2，1），
∴直线HN′解析式为y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=4，或x=1（舍），
∴N′（4，3），
∴M′（4，-1）．
综上所述：m=4或m=2+$\sqrt{2}$．

点评 题目考查了二次函数的综合应用，通过对一次函数、二次函数解析式的求解、平行线的性质、等腰三角形、中点坐标公式等知识点考察，提高学生应用基本公式的能力和解决疑难问题的能力．题目整体较难，适合做压轴拔高训练．