Question

如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠A=30°，∠ACB＞90°，BC=2，过点B作⊙O的切线BP于点D，则由弧BC、线段BD和CD所围成的图形（图中阴影部分）的面积为________．

Answer 1

2-π
分析：首先连接OB，由切线的性质，易得△OBD是直角三角形，由圆周角定理可得∠BOC=60°，继而可得△OBC是等边三角形，则可求得⊙O的半径，则由S_阴影=S_Rt△OBD-S_扇形OBC，可求得答案．
解答：解：连接OB，
∵BP是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
即∠OBD=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴BD=OB•tan60°=2，
∴S_阴影=S_Rt△OBD-S_扇形OBC=×2×2-×π×2²=2-π．
故答案为：2-π．
点评：此题考查了切线的性质、扇形的面积公式、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．