Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；
（3）BD²=AD•DF吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；

（2）△AEF与△ABE相似．
由（1）得：∠BAD=∠CBE，
又∵∠ABC=∠BAC，
∴∠ABE=∠EAF，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；

（3）BD²=AD•DF．
由（1）得：∠BAD=∠FBD，
又∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
即BD²=AD•DF．
分析：（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以证明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD²=AD•DF．
点评：本题利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．