Question

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点。

（1）如图1，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图2，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S，若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OS的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OBP=∠ODQ，
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ，
∴△BOP≌△DOQ（ASA），
∴OP=OQ；
（2）过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T，
∵ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=4，∠ABT=60°，
∴AT=ABsin60°=，TB=ABcos60°=2，
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
∴AS=，
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB，
∴，
则，
∴，
∵AS=，
∴。