Question

（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，
Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论。

Answer 1

解：（1）AF=BD；证明如下：

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），
所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
证明如下：在△BCF?和△ACD中，，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，
即AF=AB+BF′。