Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0）三点，且x₂-x₁=5．
（1）求b、c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解法一：∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，-4），
∴c=-4
又∵由题意可知，x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的两个根，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=-c
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂
=b²-24
∴b²-24=25
解得b=±
当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=-．
解法二：∵x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的两个根，
即方程2x²-3bx+12=0的两个根．
∴x=，
∴x₂-x₁==5，
解得b=±
当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=-．

（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=-x²-x-4=-（x+）²+
∴抛物线的顶点（-，）即为所求的点D．

（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与
抛物线y=-x²-x-4的交点，
∴当x=-3时，y=-×（-3）²-×（-3）-4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上．
分析：（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x₂-x₁=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，∴PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形．
点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．