Question

如图，抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴的两个交点A、B，与y轴交于点C，A点坐标为（4，0），C点坐标（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙M，（不写作法，保留作图痕迹），并求⊙M的圆心M的坐标；
（3）将直线AC绕A点顺时针旋转67.5°后交y轴于点P，若抛物线上的点Q关于直线AP对称的点正好落在x轴上，求Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）连接BD，AD，作BD或AD的垂直平分线，与抛物线对称轴的交点就是圆心M．
可先根据抛物线的对称轴来设M点的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式表示出圆心M到三角形任意两定点的距离，由于M是△ABC的外心，因此两条线段相等，可得出一个关于M点纵坐标的方程，即可求出M的坐标．
（3）由题意，不难得出∠QAO的度数正好是45°，如果设直线AQ与y轴的交点为H，那么H点的坐标必为（0，4）．可据此求出直线AQ的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）依题意，有：

1 2 ×16+4b+c=0 c=-4

，
解得：

b=-1 c=-4

因此抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-4；

（2）由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=1，
因此设M（1，a）．则有：
（1-4）²+（0-a）²=1+（-4-a）²
解得a=-1
∴M（1，-1）；

（3）依题意可知：∠PAB=∠QAB=22.5°，设直线AQ与y轴交于H，∠HAO=45°，
因此H点的坐标为（0，4）．
设直线AQ的解析式为y=kx+4，则有：
0=4k+4，k=-1
∴直线AQ的解析式为y=-x+4．
依题意有：

y= 1 2 x2-x-4 y=-x+4

解得：

x=-4 y=8

，

x=4 y=0

；
∴Q（-4，8）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、尺规作图、函数图象交点坐标的求法、轴对称等知识点．综合性较强．