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    已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。
    （1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；
    （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。

    解：（1）过点C作，垂足为D，
    则，
    当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
    即时，四边形MNQP是矩形，
    ∴秒时，四边形MNQP是矩形，
    ∵，
    ∴；
    （2）①当时，



    ②当时，



    ③当时，


    。



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    精英家教网如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．
    求：（1）线段AF的长度；（2）线段BE的长度．

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    17、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E是AB、AC上的点，且AD=CE．
    求证：CD=BE．

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    已知在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=AE，EB与CD相交于点O，EF⊥CD于点F．求证：OE=2OF．

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    已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．
    （1）说明△DEF 为等边三角形的理由；（2）若AD=2，试求△ABC和△DEF的面积．

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