Question

如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，以CD为直径作⊙O交边AB于E、F两点，交AC于H，DG⊥AB于点G 
（1）求证：AF=GE；
（2）若AF=2，FG=AC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）连接DH，过点O作OM⊥AG，垂足为点M，
则EM=FM，
∵CD为直径，
∴∠DHC=90，
∵DG⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴GD∥AC∥OM，
∵OD=OC，
∴GM=AM，
∴GM-EM=AM-FM，
∴AF=GE；

（2）∵GD∥AC，∠DHC=90，DG⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴四边形AGDH是矩形，
∵AG=AF+FG=2+4=6，EF=FG-GE=FG-AF=4-2=2，
∴DH=AG=6，
∵AF•AE=AH•AC，
∴2×4=AH×4
∴AH=2，
∴CH=2，
∴CD²=DH²+CH²=6²+2²=40，
∴CD=2，
∴圆O的半径=CD=×2=．
分析：（1）连接DH、CI，过点O作OM⊥AG，垂足为点M，EM=FM，再证出GD∥AC∥OM，根据OD=OC，得出GM=AM，即可证出AF=GE，
（2）先证出四边形AGDH是矩形，求出AG、EF，得出DH=AG=6，再根据AF•AE=AH•AC求出AH=2，得出CH=2，最后根据勾股定理得出CD²=40，CD=2，最后根据圆O的半径=CD即可得出答案．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、割线定理、矩形的性质与判定，关键是综合运用有关性质，作出辅助线，列出算式．