Question

如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=．
（1）△AFB与△FEC有什么关系？试证明你的结论．
（2）求矩形ABCD的周长．

Answer 1

解：（1）△AFB∽△FEC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=，
∴在Rt△EFC中，=，
设EC=3xcm，FC=4xcm，
∴EF==5x（cm），
由折叠的性质可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF==，
∴BF=6xcm，
∴AF==10x（cm），
∴AE==5x（cm），
∵AE=5cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周长为：10+10+8+8=36（cm）．
分析：（1）由矩形的性质与折叠的性质，易证得∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC，继而证得△AFB∽△FEC；
（2）设EC=3xcm，FC=4xcm，继而求得AF=5xcm，则可求得x的值，继而求得答案．
点评：此题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．