Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动，设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）。
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2， 由S＝S梯形EBCG－S△EBF－S△FCG＝； （2）如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动， 此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） 如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＋8，解得t＝4， 当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32（2＜t≤4）， （3）如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2， 在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90o， ①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△FCG； ②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF， 综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似。