Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）。
（1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值。
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。

Answer 1

解：⑴由题意，a+b+c=2，
∵a=1，∴b+c=1，
物线顶点为A，
设B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0，
∴|BC|=|x₁-x₂|=，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
即，
∵b²-4c＞0，
∴，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2，
所求b值为-2±2；
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾，
∴a＞0，
∵b+c=2-a，bc=，
∴b、c是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的两实根，
∴△=（2-a）²-4×≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4，
∵abc＞0，
∴a、b、c为全大于0或一正二负，
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，故2a-2≥6，
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立，故|a|+|b|+|c|的最小值为6。