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    在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4，M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP⊥BC．
    （1）证明：△CNP为等腰直角三角形；
    （2）设NP=x，当△ABM≌△MPN时，求x的值；
    （3）设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．

    【答案】分析：（1）过D做BC的垂线，设垂足为F，则DF=AB=3，而FC=BC-BF=3，即△DFC是等腰直角三角形，所以∠C=45°，因为NP⊥BC，所以△NPC是等腰直角三角形；
    （2）当△ABM≌△MPN时，则BM=NP=PC=x，AB=MP=3，又因为MP=BC-（BM+PC）=4-2x，进而求出x的值；
    （3）由题意可知四边形ABPN是直角梯形，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可求出y与x之间的函数关系式，由此可指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．
    解答：解：（1）过D做BC的垂线，设垂足为F，
    ∵∠B=90°，AD∥BC，
    ∴∠BAD=∠B=∠DFB=90°，
    ∴四边形ADFB是矩形，
    ∴AB=DF=3，AD=BF=1
    ∵BC=4，
    ∴FC=BC-BF=3，
    ∴DF=FC，
    ∴△DFC是等腰直角三角形，
    ∴∠C=45°，
    ∴NP⊥BC，
    ∴△NPC是等腰直角三角形；

    （2）∵△ABM≌△MPN，
    ∴BM=NP=PC=x，AB=MP=3，
    又∵MP=BC-（BM+PC）=4-2x，
    ∴4-2x=3，得x=；

    （3）∵AB⊥BC，NP⊥BC，
    ∴四边形ABPN为直角梯形，
    ∴y=×（AB+PN）×BP=（3+x）×（4-x）
    =（-x2+x+12）
    =-x2+x+6，
    ∴当x=时，y有最大值．
    点评：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角梯形的面积公式和二次函数的性质，题目的综合性很好，难度中等．
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    A、
    4
    5
    B、
    3
    5
    C、
    3
    4
    D、
    4
    3

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    5
    		5
    2
    或2
    		5
    5
    		5
    2
    或2
    		5
    ．

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