Question

已知抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1（m为常数）．
（1）若抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1与x轴交于两个不同的整数点，求m的整数值；
（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；
（3）若点M（x₁，y₁）与点N（x₁+k，y₂）在（2）中抛物线上 （点M、N不重合），且y₁=y₂．求代数式的值．

Answer 1

解：（1）由题意可知，△=（2m-1）²-4（m²-1）=5-4m＞0，
又∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，
∴5-4m为平方数，
设k²=5-4m，则满足要求的m值为1，-1，-5，-11，-19…
∴满足题意的m为整数值的代数式为：-n²+n+1（n为正整数）．
（2）∵抛物线顶点在第三象限，
∴只有m=1符合题意，
抛物线的解析式为y=x²+x．
（3）∵点M（x₁，y₁）与N （x₁+k，y₂）在抛物线y=x²+x上，
∴，，
∵y₁=y₂，
∴，
整理得：k（2x₁+k+1）=0，
∵点M、N不重合，
∴k≠0，
∴2x₁=-k-1，
∴==6．
分析：（1）根据题意可得方程x²+（2m-1）x+m²-1=0有两个不等整数根，从而得出5-4m为平方数，然后根据m的特点，即可确定满足题意的m为整数值代数式；
（2）根据抛物线的顶点在第三象限，可确定m的值，也可确定解析式；
（3）将点M、点N代入，结合y₁=y₂，可得出x₁的方程，从而求出x₁与k的关系，利用整体代入可得出代数式的值．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了一元二次方程的判别式的知识，及整体思想的运用，难度较大，解答第一问的难点在于求出满足题意的m整数值的代数式．