Question

13．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根据垂径定理可得BE=DF=3，利用勾股定理列式求出OE，再判断出四边形OFPE是正方形，然后根据正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍求解即可．

解答 解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，
∵AB=CD=6，
∴BE=DF=3，
在Rt△BOE中，根据勾股定理得，OE=$\sqrt{B{O}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
同理OF=4，
∵AB、CD是互相垂直的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OFPE是矩形，
又∵OE=OF，
∴四边形OFPE是正方形，
∴OP=$\sqrt{2}$OE=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形和正方形是解题的关键．