Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，以AC为直径的交AB于点D，点E是BC的中点，OB，DE相交于点F。

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）求EF：FD的值。

Answer 1

解：（1）证明：连结（如图）， ∵AC是⊙O的直径， ∴， ∵E是BC的中点， ∴DE=BE=EC， ∴∠DBE=∠BDE， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∵∠DBE+∠A=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠EDO=90°，即OD⊥DE， ∵点D在⊙O上，∴是⊙O的切线； （2）连结OE， ∵E是BC的中点，O是AC的中点， ∴OE∥AB，OE=AB， ∴△OEF∽△BDF， 在Rt△ABC中，AC=4，BC=， 根据勾股定理，得AB=8， ∴OE=4， ∵sin∠ABC=， ∴∠ABC=30°， ∴∠A=60°， ∴△AOD是边长为2的等边三角形， ∴AD=2，BD=AB-AD=6， ∴EF：FD=OE：BD=4：6=2：3。