精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax²+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x²+3x；

（2）根据勾股定理，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
综上所述，t为 $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒时，△PQC是直角三角形；

（3）抛物线对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =6，
①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6-12=-6，
代入抛物线解析式得，y=- $\text{[math]}$ ×（-6）²+3×（-6）=-27，
此时点M的坐标为（-6，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
∴点N的坐标为（6，-32）；
（ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6+12=18，
代入抛物线解析式得，y=- $\text{[math]}$ ×18²+3×18=-27，
此时点M的坐标为（18，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
∴点N的坐标为（6，-22）；
②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
∴点M也在抛物线对称轴上，
∴点M为抛物线的顶点，
∵y=- $\text{[math]}$ x²+3x=- $\text{[math]}$ （x-12x+36）²+9=- $\text{[math]}$ （x-6）²+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
∴点P的坐标为（6， $\text{[math]}$ ），
∴点N的纵坐标为：2× $\text{[math]}$ -9=-4，
∴点N（6，-4）；
综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）先写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长，再求出点P到达点C的时间，然后表示出CP、CQ的长，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后分①AC是平行四边形的边时，分点M在对称轴左边与右边两种情况求出点M的横坐标，然后代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而求出点M的坐标，再根据点A、C的纵坐标的差距求出点N的纵坐标，然后写出点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可知点M为抛物线的顶点坐标，再根据中点求出点N即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>