Question

在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．

Answer 1

证明：设6张卡片正面写的数是a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆，反面写的数对应为b₁、b₂、b₃、b₄、b₅、b₆，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|，|a₄-b₄|，|a₅-b₅|，|a₆-b₆|．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．
于是|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+|a₄-b₄|+|a₅-b₅|+|a₆-b₆|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数．
另一方面，|a_i-bi|与a_i-b_i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同．所以|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+|a₄-b₄|+|a₅-b₅|+|a₆-b₆|与（a₁一b₁）+（a₂一b₂）+（a₃一b₃）+（a₄一b₄）+（a₅一b₅）+（a₆一b₆）=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）一（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）=（1+2+3+4+5+6）一（1+2+3+4+5+6）=O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．
所以，|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|，|a₄-b₄|，|a₅-b₅|，|a₆-b₆|这6个数中至少有两个是相同的．