Question

一个三角形一边上的高为

3

，另两边分别为2和2

3

，那么这两边的夹角为

 

．

Answer 1

分析：首先画出示意图，①高在三角形内的情况，根据sinB=

AD

AB

=

3

2

可求出B的度数，根据sinC=

AD

AC

=

1

2

可求出C的度数，从而利用三角形的内角和定理可求出两边的夹角．②高在三角形外的情况，②根据sinB=

AD

AB

=

1

2

可求出B的度数，根据sin∠ACD=

AD

AC

=

3

2

可求出C的度数，从而利用三角形的外角定理可求出AB和AC的夹角．

解答：解：①由题意得：AB=2，AC=2

3

，AD=

3

，
∵在RT△ABD中，sinB=

AD

AB

=

3

2

，
∴∠B=60°，
∵在RT△ADC中，sinC=

AD

AC

=

1

2

，
∴∠C=30°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-90°=90°，
即这两边的夹角为90°．
②由题意得：AB=2

3

，AC=2，AD=

3

，
∵在RT△ABD中，sinB=

AD

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°，
∵在RT△ADC中，sin∠ACD=

AD

AC

=

3

2

，
∴∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠B=60°-30°=30°，即两边夹角为30°．
故答案为：90°或30°．

点评：本题考查了解直角三角形的知识，有一定的难度，解答本题的关键是熟练运用三角函数的值求出角的度数，这就要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值，难点在于要分类讨论高在三角形内还是在三角形外，这是比较容易忽略的，同学们要注意．