Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，D为BC上一点，∠ADC=60°．AE⊥BC于点E．CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求证：DF=FG；
（2）若DC=2，AF=，求线段EG的长．

Answer 1

证明：（1）∵∠ABC=45°，∠BAC=60°，∴∠ADB=120°，
又∵∠BAC=60°，∴∠DAC=45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∵AF=CF，又∠ADE为公共角，
∴△AFG≌△CFD，
∴DF=FG；
（2）在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠FCD=30°，
∴DF=CD=1，∴FG=DF=1，
又∵△AFG≌△CFD，
∴CF=AF=，
∴CG=CF﹣FG=﹣1，
在Rt△CGE中，∠AEC=90°，
∠FCD=30°，
∴EG=CG=．