Question

如图，已知：斜面ABC，∠C=90°，∠B=60°，BC=6，有一半径为3的小球与AB切于点A，现从斜面顶端A沿直线AB向下作无滑动的滚动，当小球刚接触到地面时，小球圆心经过的路径长为________．

Answer 1

12-
分析：先作辅助线，连接两个圆心，连接两个圆心和切点、连接O'M（M是切点），则得到OO'=AN即小球圆心经过的路径长，则BM=BN，所以△BO'M≌△BO'N，得∠MBO'=∠NBO'，又由∠B=60°，得∠MBN=120°，所以得∠NBO'=60°，分别解两个直角三角形△ABC和△BO'N求出BN和AB，从而求得小球圆心经过的路径长．
解答：解：连接两个圆心，连接两个圆心和切点、连接O'M（M是切点），如图，
由已知得：OO'=AN，
BM=BN，
又OM=ON，OB=OB，
∴△BO'M≌△BO'N，
∴∠MBO'=∠NBO'，
又∠B=60°，∴∠MBN=120°，
∴∠NBO'=60°，则∠BO'N=30°
在Rt△BO'N和Rt△ABC中，
BN=O'N•tan30°=3•=，
AB===12，
∴AN=AB-BN=12-，即OO'=12-，
所以小球圆心经过的路径长为：12-，
故答案为：12-．
点评：此题考查的知识点是切线的性质，也渗透了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是由已知先证△BO'M≌△BO'N得出∠NBO'=60°，在利用两个直角三角形求出AB和BN．