Question

如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， ∴， 又∵A（-1，0），B（9，0）， ∴， 解得OC=3（负值舍去）， ∴C（0，-3）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9）， 解得a=， ∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0），  ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°， 连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5， ∴D（4，-5）， ∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴  解得 ∴直线BD的解析式为y=x-9； （3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 设射线DP交⊙O′于点Q，则， 分两种情况（如答案图1所示）： ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）， ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1（7，-4）符合， ∵D（4，-5），Q1（7，-4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x-， 解方程组得 ∴点P1坐标为（）， [坐标为（）不符合题意，舍去]， ②∵Q1（7，-4）， ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合， ∵D（4，-5），Q2（7，4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17， 解方程组得 ∴点P2坐标为（14，25）， [坐标为（3，-8）不符合题意，舍去]， ∴符合条件的点P有两个：P1（），P2（14，25）。