Question

已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B是切点，点D是⊙O上一点，AD∥OC，OC交BD于E．
（1）求证：OC是BD的中垂线；
（2）试判断CD与⊙O的位置关系，证明之．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
又∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴OC平分BD，
即OC是BD的中垂线；

（2）CD与⊙O相切．理由如下：
连OD，
∵OC是BD的中垂线，
∴CD=CB，
而OD=OB，OC公共，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD与⊙O相切．
分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为90°得到AD⊥BD，又AD∥OC，得到OC⊥BD，再根据垂径定理得到OC平分BD；
（2）OC是BD的中垂线，得到CD=CB，易证△ODC≌△OBC，则∠ODC=∠OBC，而BC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OBC=90°．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理和三角形全等的判定与性质．