Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90 °，AD=a，BC=b，DC=a+b，且b>a，点M是AB边的中点。
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离。（用含a，b的式子表示）

Answer 1

解：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3） ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADM=∠BEM． ∵点M是AB边的中点， ∴AM=BM 在△ADM与△BEM中，         ∠ADM=∠BEM，             ∠AMD=∠BME，             AM=BM， ∴△ADM≌△BEM， ∴AD=BE=a，DM=EM， ∴CE=CB+BE=b+a ∵CD=， ∴CE=CD ∴CM⊥DM；   （2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F（如图4） ∵CE=CD，DM=EM，    ∴CM平分∠ECD．                  ∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，                 ∴MN=MB ∵AD∥BC，∠ABC=90°，   ∴∠A=90° ∵∠DFB=90°，   ∴四边形ABFD为矩形．   ∴BF= AD=a，AB= DF ∴FC= BC－BF =b-a      ∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，  ∴ ==4ab ∴ DF=2 ∴MN=MB=AB=DF= 即点M到CD边的距离为