Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N．
（1）请求出点A坐标和⊙P的半径；
（2）请确定抛物线的解析式；
（3）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点坐标；
（4）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）

Answer 1

解：（1）A点坐标是（0，2），⊙P的半径长为；

（2）抛物线的解析式是：y=x²-x+2；

（3）设N点坐标为（x₀，y₀），
由题意有BC•|y₀|=OA•OB×
∴×3y₀=×2×1×
解得y₀=5
∵N点在抛物线上
∴x₀²-x₀+2=5
解得x₀=6或x₀=-1（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（6，5）；

（4）根据题意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有两种情况
①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径
则AB=，AD=5
∴BD=2
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴MA：AD=AB：BD即MA=
∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=．
②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，
所以直线MB过P点
∵B（1，0），P（，2）
∴直线MB的解析式是：y=x-
∴M点的坐标为（0，-）
∴AM=
由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=．
分析：（1）根据圆和抛物线的对称性可知：点P必在抛物线的对称轴上，根据B、C的坐标可求出抛物线对称轴的解析式即可得出圆P的半径，连接PB，设抛物线对称轴与x轴交于Q，那么PQ⊥x轴，且PQ=OA，已知了圆的半径和BC的长，即可在直角三角形PBQ中求出PQ即OA的长，也就得出了A点坐标；
（2）将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式；
（3）先求出三角形AOB的面积，再根据题中给出的两三角形的面积比得出三角形BCN的面积，BC长为定值，可求出N点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出N点的坐标；（由于N是直线BM与抛物线的交点，且M在y轴负半轴，因此N点必在第一象限，据此可将不符合条件的N点坐标舍去）
（4）根据弦切角定理可知：∠OAB=∠ADB，因此本题可分两种情况：
①∠ABD=∠AOB=90°时，此时MD⊥AB，且AD是圆P的直径，可根据相似三角形AMB和DMA得出的关于MA、AD、AB、BD的对应成比例线段求出MA的长，然后根据切割线定理可得出MB•MD=MA2，即可得出所求的值．
②∠BAD=∠AOB=90°时，思路同①也是先求出MA的长，可根据直线MB的解析式求出M点坐标，然后通过相似三角形MAB和MDA（一个公共角，∠MBA和∠DAO都是90°加上一个等角）求出MA的长．后面同①．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．（4）题中，要根据相似三角形对应边和对应角的不同分类讨论，不要漏解．