Question

如图线段AB在x轴上，以AB为直径的圆交y轴于点C，己知AC=2

5

，BC=

5

．
（1）求点A、B、C三点的坐标；
（2）设过A、B、C三点的抛物线的顶点为D，求四边形ABCD的面积：
（3）求该抛物线与圆的另一个交点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理和三角形相似的性质解决问题；
（2）求出函数解析式，得出顶点坐标，分割图形，利用梯形的面积与三角形的面积即可解答问题；
（3）利用二次函数图象上点的对成性解答即可．

解答：解：（1）因为AB为直径，所以∠ACB=90°，
在直角三角形ABC中，AB=

AC2+BC2

=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵△BOC∽△BCA，
∴

BC

BO

=

AB

BC

，
∴BO=

BC2

AB

=

5 2

5

=1，AO=4，
又∵△AOC∽△COB，

OC

OB

=

OA

OC

，
即

OC

4

=

1

OC

，
解得OC=2，
由此可知点A、B、C三点的坐标分别为（-4，0），（1，0），（0，2）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点代入解析式得，

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
所以函数解析式为y=-

1

2

x²-

3

2

x+2，
顶点坐标D为（-

3

2

，

25

8

）；
过点D作DE垂直于AB，垂足为E，如图：
S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形CDEO+S_△BOC，
=

1

2

×（4-

3

2

）×

25

8

+

1

2

×（

25

8

+2）×

3

2

+

1

2

×1×2，
=

35

4

；

（3）由上图可知，抛物线与圆的另一个交点F与点C是对称点，
所以点F的坐标为（-3，2）．

点评：此题综合考查了勾股定理，三角形相似的性质，组合图形的面积，二次函数对称性，以及待定系数法球函数解析式．