Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明： （3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．

Answer 1

解：（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD． （2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD． 证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点， ∴BM=EC=MC， 又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点， ∴DM=EC=MC． ∴BM=DM． ∵BM=MC，BM=MC， ∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM． ∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM =2（∠BCM-∠DCM）=2∠BCD． 即∠BMD=2∠BCD． （3）所画图形如图所示： 图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD； 图2中∠BCD不存在，有BM=DM； 图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．