Question

18．如图，AB为⊙O的直径，DC、DA、CB分别切⊙O于G、A、B．
（1）如图1，连OD、OC，若OC=6，OD=8，求CD；
（2）如图2，OF⊥BD于F，连CF，若tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，求sin∠CFB．

Answer 1

分析 （1）先证明∠COD=90°，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N，设AD=3k，BD=4k，则BD=5k，BC=AM=CG=a，在RT△CMD中利用勾股定理求出a=$\frac{4}{3}$k，由△CNB∽△BAD，△OBF∽△DBA分别求出BN、BF，即可证明CB=CF，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵AB是直径，BC、AD、CD是⊙O切线．
∴CB⊥AB，AD⊥AB，∠OCB=∠OCG，∠ODA=∠ODG，
∴BC∥AD，
∴∠BCG+∠ADG=180°，
∴2∠OCG+2∠ODG=180°，
∴∠OCG+∠ODG=90°，
∴∠COD=90°，∵OC=6，OD=8，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
（2）解：如图2中，作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．
在RT△ABD中，∵tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，
∴可以假设AD=3k，BD=4k，则BD=5k，
∵∠CBA=∠BAM=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM=AB=4k，BC=AM，设BC=AM=CG=a，
在RT△CDM中，CM=4k，DM=3k-a，CD=3k+a，
∴（3k+a）²=（4k）²+（3k-a）²，
∴a=$\frac{4}{3}$k，
∵∠CNB=∠BAD=90°，∠CBN=∠ADB，
∴△CNB∽△BAD，
∴$\frac{BN}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BN=$\frac{4}{5}$k，
∵∠OFB=∠DAB=90°，∠OBF=∠ABD，
∴△OBF∽△DBA，
∴$\frac{OB}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴BF=$\frac{8}{5}$k，
∴BF=2NB，BN=NF，∵CN⊥BF，
∴CB=CF，
∴∠CFB=∠CBF=∠ADB，
∴tan∠CFB=tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{4k}{3k}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会设参数解决问题，题目比较难，善于利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考压轴题．